長崎大学
2011年 文系 第4問
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次の問いに答えよ．
(1) 関係式 \[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより，$a_n$を求めよ．
(2) $x \neq 1$のとき，等比数列の和の公式 \[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \] の両辺を$x$で微分せよ．その結果を利用して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ．
(3) $p \neq 1$のとき，関係式 \[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(1) 関係式 \[ a_1=1,\quad na_{n+1}-(n+1)a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求めたい．$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおいて数列$\{b_n\}$の一般項を求めることにより，$a_n$を求めよ．
(2) $x \neq 1$のとき，等比数列の和の公式 \[ \sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1} \] の両辺を$x$で微分せよ．その結果を利用して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}kx^k$を求めよ．
(3) $p \neq 1$のとき，関係式 \[ c_1=0,\quad \frac{pc_{n+1}}{n}-\frac{c_n}{n+1}=\frac{1}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定義される数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
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