信州大学
2014年 医学部 第2問
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次の各問いに答えよ.
(1) $3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$,$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような,$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ.
(ⅰ) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ⅱ) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(ⅲ) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する.
(2) $n$を$0$以上の整数とする.$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に,最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか.ただし,$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい.
注:例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり,$14225$の最上位の桁の数字は$1$である.
(1) $3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$,$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような,$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ.
(ⅰ) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ⅱ) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(ⅲ) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する.
(2) $n$を$0$以上の整数とする.$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に,最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか.ただし,$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい.
注:例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり,$14225$の最上位の桁の数字は$1$である.
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