慶應義塾大学
2014年 経済学部 第2問
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$a,\ b,\ c$を実数とする.$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め,
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく.関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に,$x=\beta$において極小になるとする.点$(\alpha,\ f(\alpha))$,$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$,$\ell_\beta$とする.
(1) 直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$15$}}{\fbox{$16$}} \alpha+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}} \beta,\ \frac{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} (\beta-\alpha)^2 \right) \] である.
(2) 曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$,$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると, \[ S=\frac{\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} (\beta-\alpha)^3 \] である.必要なら次の公式を使ってよい.$r$を実数とすると \[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3) 実数$a,\ b$が不等式 \[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \] をみたす範囲を動くとき,$S$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{\fbox{$27$}}$,最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$28$}\fbox{$29$}}{\fbox{$30$}}$である.
(1) 直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$15$}}{\fbox{$16$}} \alpha+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}} \beta,\ \frac{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} (\beta-\alpha)^2 \right) \] である.
(2) 曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$,$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると, \[ S=\frac{\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} (\beta-\alpha)^3 \] である.必要なら次の公式を使ってよい.$r$を実数とすると \[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3) 実数$a,\ b$が不等式 \[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \] をみたす範囲を動くとき,$S$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{\fbox{$27$}}$,最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$28$}\fbox{$29$}}{\fbox{$30$}}$である.
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