津田塾大学
2010年 学芸(数学) 第4問
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次の問いに答えよ.
(1) $n$を自然数とする.次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ.ただし,$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である.
(2) 自然数$n$に対して,$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする.$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて,$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ.また,それを用いて,$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ.
(1) $n$を自然数とする.次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ.ただし,$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である.
(2) 自然数$n$に対して,$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする.$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて,$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ.また,それを用いて,$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ.
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