山形大学
2013年 工学部 第2問
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$\triangle \mathrm{OAB}$は，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす．$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4) $\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(ⅰ) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ⅱ) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4) $\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．
(ⅰ) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ⅱ) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．
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