東京海洋大学
2014年 海洋工 第3問
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![座標平面上の曲線C:y=x^3-xを考える.C上の点(-a,-a^3+a)と(a,a^3-a)(a>0)におけるCの接線をそれぞれℓ_1,ℓ_2とする.また,ℓ_1とCとの(-a,-a^3+a)以外の共有点をP_1,ℓ_2とCとの(a,a^3-a)以外の共有点をP_2とする.さらに,P_2を通りy軸に平行な直線とℓ_1の交点をQ_1,P_1を通りy軸に平行な直線とℓ_2の交点をQ_2とする.(1)P_1,P_2,Q_1,Q_2の座標を求めよ.(2)2点P_1,P_2を通る直線とCで囲まれる2つの図形の面積の和をS_1,四角形P_1Q_1P_2Q_2の面積をS_2とする.\frac{S_1}{S_2}を求めよ.ただし,∫x^3dx=\frac{x^4}{4}+D(Dは積分定数)を用いてよい.](./thumb/181/2219/2014_3.png)
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座標平面上の曲線$C:y=x^3-x$を考える.$C$上の点$(-a,\ -a^3+a)$と$(a,\ a^3-a)$ \ \ $(a>0)$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とする.また,$\ell_1$と$C$との$(-a,\ -a^3+a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_1$,$\ell_2$と$C$との$(a,\ a^3-a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_2$とする.さらに,$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_1$の交点を$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{P}_1$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_2$の交点を$\mathrm{Q}_2$とする.
(1) $\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ.
(2) $2$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$,四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする.$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$($D$は積分定数)を用いてよい.
(1) $\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ.
(2) $2$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$,四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする.$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$($D$は積分定数)を用いてよい.
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