東京大学
2013年 理系 第3問
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![A,Bの2人がいる.投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ1/2のコインが1枚あり,最初はAがそのコインを持っている.次の操作を繰り返す.(i)Aがコインを持っているときは,コインを投げ,表が出ればAに1点を与え,コインはAがそのまま持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,AはコインをBに渡す.(ii)Bがコインを持っているときは,コインを投げ,表が出ればBに1点を与え,コインはBがそのまま持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,BはコインをAに渡す.そしてA,Bのいずれかが2点を獲得した時点で,2点を獲得した方の勝利とする.たとえば,コインが表,裏,表,表と出た場合,この時点ではAは1点,Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる.(1)A,Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率p(n)を求めよ.(2)Σ_{n=1}^∞p(n)を求めよ.](./thumb/179/910/2013_3.png)
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$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がいる.投げたときに表裏の出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインが$1$枚あり,最初は$\mathrm{A}$がそのコインを持っている.次の操作を繰り返す.
(ⅰ) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{A}$がそのまま 持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す.
(ⅱ) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{B}$がそのまま 持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す.
そして$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で,$2$点を獲得した方の勝利とする.たとえば,コインが表,裏,表,表と出た場合,この時点では$\mathrm{A}$は$1$点,$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる.
(1) $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ.
(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p(n)$を求めよ.
(ⅰ) $\mathrm{A}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{A}$がそのまま 持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{A}$はコインを$\mathrm{B}$に渡す.
(ⅱ) $\mathrm{B}$がコインを持っているときは,コインを投げ,表が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与え,コインは$\mathrm{B}$がそのまま 持つ.裏が出れば,両者に点を与えず,$\mathrm{B}$はコインを$\mathrm{A}$に渡す.
そして$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のいずれかが$2$点を獲得した時点で,$2$点を獲得した方の勝利とする.たとえば,コインが表,裏,表,表と出た場合,この時点では$\mathrm{A}$は$1$点,$\mathrm{B}$は$2$点を獲得しているので$\mathrm{B}$の勝利となる.
(1) $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$あわせてちょうど$n$回コインを投げ終えたときに$\mathrm{A}$の勝利となる確率$p(n)$を求めよ.
(2) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty p(n)$を求めよ.
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コメント(1件)
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