埼玉大学
2015年 理学部 第1問
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![cは正の整数とする.数列a_1,a_2,a_3,・・・はa_1=1,a_2=cであり,さらに漸化式a_{n+2}=a_{n+1}+a_n(n=1,2,3,・・・)を満たすとする.次の問いに答えよ.(1)n=1,2,3,・・・に対して,a_nは正の整数であり,かつ,a_nとa_{n+1}の最大公約数は1であることを示せ.(2){(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)はnによらず一定の値であることを示せ.(3)c≧2とし,b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}とおくと{\begin{array}{ll}b_{n+1}>b_n&(n が偶数のとき )\b_{n+1}<b_n&(n が奇数のとき )\end{array}.が成り立つことを示せ.](./thumb/118/1351/2015_1.png)
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$c$は正の整数とする.数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$,$a_2=c$であり,さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$a_n$は正の整数であり,かつ,$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ.
(2) ${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ.
(3) $c \geqq 2$とし,$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと \[ \left\{ \begin{array}{ll} b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\ b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき}) \end{array} \right. \] が成り立つことを示せ.
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$a_n$は正の整数であり,かつ,$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ.
(2) ${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ.
(3) $c \geqq 2$とし,$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと \[ \left\{ \begin{array}{ll} b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\ b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき}) \end{array} \right. \] が成り立つことを示せ.
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