埼玉大学
2011年 理学部 第2問
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曲線$C:(x-2)^2+y^2=1$と直線$\ell: y=(\tan \theta)x$を考える.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とする.$f(\theta)$を次の(ア),(イ),(ウ)のように定める.
[(ア)] $C$と$\ell$の共有点の個数が1のとき,$f(\theta)$は共有点と原点の距離とする. [(イ)] $C$と$\ell$の共有点の個数が2以上のとき,$f(\theta)$は共有点と原点の距離のうち最も小さいものとする. [(ウ)] $C$と$\ell$が共有点を持たないとき,$f(\theta)=0$とする.
さらに,$C$と$\ell$が共有点を持つ$\theta$の最大値を$\alpha$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\alpha$を求めよ.
(2) $C$と$\ell$が共有点を持つとき,$f(\theta)$を求めよ.
(3) 次の積分を計算せよ. \[ \int_0^\alpha \{f(\theta)\}^2 \, d\theta \]
[(ア)] $C$と$\ell$の共有点の個数が1のとき,$f(\theta)$は共有点と原点の距離とする. [(イ)] $C$と$\ell$の共有点の個数が2以上のとき,$f(\theta)$は共有点と原点の距離のうち最も小さいものとする. [(ウ)] $C$と$\ell$が共有点を持たないとき,$f(\theta)=0$とする.
さらに,$C$と$\ell$が共有点を持つ$\theta$の最大値を$\alpha$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\alpha$を求めよ.
(2) $C$と$\ell$が共有点を持つとき,$f(\theta)$を求めよ.
(3) 次の積分を計算せよ. \[ \int_0^\alpha \{f(\theta)\}^2 \, d\theta \]
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