埼玉大学
2010年 理系 第4問
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![放物線C:y=\frac{x^2}{2}を考える.0<a<√2を満たす定数aに対して,点(a^3,\frac{3a^2}{2}+1)をPで表す.(1)点PとC上の点(t,\frac{t^2}{2})との距離が最小となるtをaを用いて表せ.(2)(1)で求めたtに対して,点(t,\frac{t^2}{2})をQとおく.点QにおけるCの接線と,直線PQは直交することを示せ.(3)点Pと点Qとの距離が最大となるようにaを定めよ.](./thumb/118/1357/2010_4.png)
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放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える.$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して,点$\displaystyle \left(a^3,\ \frac{3a^2}{2}+1 \right)$をPで表す.
(1) 点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ.
(2) (1)で求めた$t$に対して,点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく.点Qにおける$C$の接線と,直線PQは直交することを示せ.
(3) 点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ.
(1) 点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ.
(2) (1)で求めた$t$に対して,点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく.点Qにおける$C$の接線と,直線PQは直交することを示せ.
(3) 点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ.
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