立教大学
2014年 理学部(個別日程) 第1問
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次の空欄$\fbox{ア}$~$\fbox{コ}$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1) $1$でない実数$a$に対し,$f(x)=x^3+ax^2+x+1$,$g(x)=x^3+x^2+x+a$とする.方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$がただ$1$つの共通解をもつならば,$a=\fbox{ア}$であり,$f(x)=0$のすべての解は$\fbox{イ}$である.
(2) $x>0$のとき,$f(x)=e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の最大値は$\fbox{ウ}$であり,最小値は$\fbox{エ}$である.
(3) $\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とするとき,$z^{2014}=\fbox{オ}+\fbox{カ}i$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(4) $a,\ b$を$2$から$9$までの自然数とするとき,$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$64$通りあるが,そのうち$\log_a b$が整数となるのは$\fbox{キ}$通りであり,整数でない有理数となるのは$\fbox{ク}$通りである.
(5) ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は,$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$かつ$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$を満たす.このとき,ベクトル$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}$が$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{5}{3}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-3$を満たすならば,$p=\fbox{ケ}$,$q=\fbox{コ}$である.ただし,$p,\ q$は実数とする.
(1) $1$でない実数$a$に対し,$f(x)=x^3+ax^2+x+1$,$g(x)=x^3+x^2+x+a$とする.方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$がただ$1$つの共通解をもつならば,$a=\fbox{ア}$であり,$f(x)=0$のすべての解は$\fbox{イ}$である.
(2) $x>0$のとき,$f(x)=e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の最大値は$\fbox{ウ}$であり,最小値は$\fbox{エ}$である.
(3) $\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とするとき,$z^{2014}=\fbox{オ}+\fbox{カ}i$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(4) $a,\ b$を$2$から$9$までの自然数とするとき,$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$64$通りあるが,そのうち$\log_a b$が整数となるのは$\fbox{キ}$通りであり,整数でない有理数となるのは$\fbox{ク}$通りである.
(5) ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は,$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$かつ$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$を満たす.このとき,ベクトル$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}$が$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{5}{3}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-3$を満たすならば,$p=\fbox{ケ}$,$q=\fbox{コ}$である.ただし,$p,\ q$は実数とする.
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