平面上の点P$_n$，Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める． \\ P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1) P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2) すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3) 線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4) P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．