千葉工業大学
2013年 工・情報科学・社シス科学 第4問
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![Oを原点とするxy平面上に,放物線C:y=1/4x^2がある.点A(2,8)を通る直線ℓ:y=t(x-2)+8(ただし,tは定数)とCとの2つの交点を結ぶ線分の中点をM(X,Y)とするとき,次の問いに答えよ.(1)Cとℓとの2つの交点のx座標をα,βとすると,α+β=[ア]tである.X,Yをtを用いて表すと,X=[イ]t,Y=[ウ]t^2-[エ]t+[オ]である.(2)Mが直線OA上の点であるようなtの値は小さい方から順に[カ],[キ]である.(3)tが[カ]から[キ]まで変化するときのMの軌跡は,放物線D:y=\frac{[ク]}{[ケ]}x^2-x+[コ]の[サ]≦x≦[シ]の部分である.(4)[カ]≦t≦[キ]において,直線OMがDに接するとき,X=[ス]である.また,tが[カ]から[キ]まで変化するとき,線分OMが通過する部分の面積は\frac{[セソ]}{[タ]}である.](./thumb/164/2247/2013_4.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に,放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある.点$\mathrm{A}(2,\ 8)$を通る直線$\ell:y=t(x-2)+8$(ただし,$t$は定数)と$C$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(X,\ Y)$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると,$\alpha+\beta=\fbox{ア} t$である.$X,\ Y$を$t$を用いて表すと,$X=\fbox{イ} t$,$Y=\fbox{ウ} t^2-\fbox{エ} t+\fbox{オ}$である.
(2) $\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$\fbox{カ}$,$\fbox{キ}$である.
(3) $t$が$\fbox{カ}$から$\fbox{キ}$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は,放物線 \[ D:y=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}x^2-x+\fbox{コ} \] の$\fbox{サ} \leqq x \leqq \fbox{シ}$の部分である.
(4) $\fbox{カ} \leqq t \leqq \fbox{キ}$において,直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき,$X=\fbox{ス}$である.また,$t$が$\fbox{カ}$から$\fbox{キ}$まで変化するとき,線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タ}}$である.
(1) $C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると,$\alpha+\beta=\fbox{ア} t$である.$X,\ Y$を$t$を用いて表すと,$X=\fbox{イ} t$,$Y=\fbox{ウ} t^2-\fbox{エ} t+\fbox{オ}$である.
(2) $\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$\fbox{カ}$,$\fbox{キ}$である.
(3) $t$が$\fbox{カ}$から$\fbox{キ}$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は,放物線 \[ D:y=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}x^2-x+\fbox{コ} \] の$\fbox{サ} \leqq x \leqq \fbox{シ}$の部分である.
(4) $\fbox{カ} \leqq t \leqq \fbox{キ}$において,直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき,$X=\fbox{ス}$である.また,$t$が$\fbox{カ}$から$\fbox{キ}$まで変化するとき,線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タ}}$である.
類題(関連度順)
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