$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に，放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(2,\ 8)$を通る直線$\ell:y=t(x-2)+8$（ただし，$t$は定数）と$C$との$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}(X,\ Y)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $C$と$\ell$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$\alpha+\beta=\fbox{ア} t$である．$X,\ Y$を$t$を用いて表すと，$X=\fbox{イ} t$，$Y=\fbox{ウ} t^2-\fbox{エ} t+\fbox{オ}$である．
(2) $\mathrm{M}$が直線$\mathrm{OA}$上の点であるような$t$の値は小さい方から順に$\fbox{カ}$，$\fbox{キ}$である．
(3) $t$が$\fbox{カ}$から$\fbox{キ}$まで変化するときの$\mathrm{M}$の軌跡は，放物線 \[ D:y=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}x^2-x+\fbox{コ} \] の$\fbox{サ} \leqq x \leqq \fbox{シ}$の部分である．
(4) $\fbox{カ} \leqq t \leqq \fbox{キ}$において，直線$\mathrm{OM}$が$D$に接するとき，$X=\fbox{ス}$である．また，$t$が$\fbox{カ}$から$\fbox{キ}$まで変化するとき，線分$\mathrm{OM}$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タ}}$である．