長岡技術科学大学
2016年 工学部 第2問
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平面内にベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$がある．下の問いに答えなさい．
(1) 次の等式を証明しなさい． \[ |\overrightarrow{a|+\vectit{b}}^2-|\overrightarrow{a|-\vectit{b}}^2=4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \]
(2) $m,\ n$を実数とするとき，次の等式を証明しなさい． \[ |m \overrightarrow{a|+n \vectit{b}}^2+mn |\overrightarrow{a|-\vectit{b}}^2=(m+n)(m |\overrightarrow{a|}^2+n |\overrightarrow{b|}^2) \]
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=3$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．
(1) 次の等式を証明しなさい． \[ |\overrightarrow{a|+\vectit{b}}^2-|\overrightarrow{a|-\vectit{b}}^2=4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \]
(2) $m,\ n$を実数とするとき，次の等式を証明しなさい． \[ |m \overrightarrow{a|+n \vectit{b}}^2+mn |\overrightarrow{a|-\vectit{b}}^2=(m+n)(m |\overrightarrow{a|}^2+n |\overrightarrow{b|}^2) \]
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=3$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．
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