東京農工大学
2014年 理系 第3問
3
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$e$は自然対数の底とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$3$点
\[ \mathrm{A}(e^{-\theta}+\sqrt{3},\ e^{-\theta}),\quad \mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{C}(\sqrt{3},\ 0) \]
がある.ただし,$\theta \geqq 0$とする.次の問いに答えよ.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする.$F(\theta)$を求めよ.
(2) $F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする.区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ.
(3) $n$を自然数とする.区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値,最小値をそれぞれ$\alpha_n$,$\beta_n$とする.$\alpha_n$,$\beta_n$を求めよ.また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$\alpha_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して,$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく.$S$の値を求めよ.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする.$F(\theta)$を求めよ.
(2) $F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする.区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ.
(3) $n$を自然数とする.区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値,最小値をそれぞれ$\alpha_n$,$\beta_n$とする.$\alpha_n$,$\beta_n$を求めよ.また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$\alpha_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して,$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく.$S$の値を求めよ.
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