首都大学東京
2016年 都市教養(理系) 第2問
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![nを自然数とし,h(x)=x-nlogxとおく.ただし,logxは自然対数とする.以下の問いに答えなさい.(1)x≧2nのとき,h´(x)≧1/2が成り立つことを示しなさい.ただし,h´(x)はh(x)の導関数とする.(2)x≧2nのとき,h(x)-h(2n)≧1/2(x-2n)が成り立つことを示しなさい.(3)x≧2nかつx≧2n-2h(2n)のとき,h(x)≧0が成り立つことを示しなさい.(4)(3)を利用して\lim_{x→∞}\frac{x^{n-1}}{e^x}=0が成り立つことを示しなさい.ただし,eは自然対数の底とする.](./thumb/188/1481/2016_2.png)
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$n$を自然数とし,
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく.ただし,$\log x$は自然対数とする.以下の問いに答えなさい.
(1) $x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい.ただし,$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする.
(2) $x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい.
(3) $x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき,$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい.
(4) $(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) $x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい.ただし,$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする.
(2) $x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい.
(3) $x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき,$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい.
(4) $(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい.ただし,$e$は自然対数の底とする.
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