平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一直線上にないものとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=1$とする．また，$t$を正の実数とし，平面上の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と定め，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$t$および$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2) 三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$t$と内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CP}}$かつ点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．