室蘭工業大学
2015年 工学部 第3問
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$a$を定数とし，$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とする．媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\cos^3 t \\
y=\sin^3 t \phantom{2^{\mkakko{}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right. \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．また，$C$の$0 \leqq t \leqq a$の部分の長さを$L$とする．
(1) $L$を$a$を用いて表せ．ただし，$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される．
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3) $(2)$の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき，$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ．
(1) $L$を$a$を用いて表せ．ただし，$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される．
(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3) $(2)$の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき，$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ．
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