平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$を満たすとする．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表す．また，$s$を実数とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s^2) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定める．
(1) 線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，および$s$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MQ}}$となる$s$の値をすべて求めよ．