広島市立大学
2012年 理系 第3問
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空間内に4点O,A,B,Cがあり,次の条件を満たすものとする.
\[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \]
また,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし,Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする.点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする.したがって,$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である.$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき,$u,\ v$を求めよ.
(2) $\tokeiichi$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ.また,最大値をとるときの$x,\ y$の値,最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ.\\ $\tokeini$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値,最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$,P$_2$とおく.点P$_1$,P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ.ただし,Qは(1)で定めた点とする.
(1) 点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする.したがって,$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である.$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき,$u,\ v$を求めよ.
(2) $\tokeiichi$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ.また,最大値をとるときの$x,\ y$の値,最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ.\\ $\tokeini$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.
(3) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値,最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$,P$_2$とおく.点P$_1$,P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ.ただし,Qは(1)で定めた点とする.
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