慶應義塾大学
2012年 総合政策学部 第4問
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曲線上の点$\mathrm{P}$を通り,$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線$\ell$と直交する直線$m$をこの曲線の法線とよぶ.$a,\ b>0$とし,$2$次曲線$x^2 = 4a(y+b)$の法線が$(0,\ 2a)$を通るとき,接点$\mathrm{P}(p,\ q)$は
\[ p^2 = \fbox{(41)}ab, \quad q= \fbox{(42)} \]
をみたす.したがって条件をみたす接線と法線の組$(\ell,\ m)$は$2$組ある.この$4$本の直線で囲まれる$4$角形$S$の面積は$\fbox{(43)}\fbox{(44)}(a+b)\sqrt{ab}$である.また$2$本の法線と$2$次曲線で囲まれる部分で$S$に含まれる部分の面積は
\[ \left( \frac{\fbox{(45)}\fbox{(46)}a+\fbox{(47)}\fbox{(48)}b}{\fbox{49}} \right) \sqrt{ab} \]
である.
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