武庫川女子大学
2014年 生活環境(建築) 第2問
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次の空欄$\fbox{$19$}$~$\fbox{$37$}$にあてはまる数字を入れよ.
$xy$平面上に,双曲線$x^2-y^2=1$がある.この双曲線と直線$y=ax+3$が点$\mathrm{P}$で接している.ただし$a>0$とする.このとき,
(1) $a=\sqrt{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}$
$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( -\frac{\sqrt{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}}{\fbox{$23$}},\ -\frac{\fbox{$24$}}{\fbox{$25$}} \right)$である.
(2) この双曲線上に点$\mathrm{Q}(s,\ t)$がある.線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると,$\mathrm{M}$の座標は \[ \left( \frac{s}{2}-\frac{\sqrt{\fbox{$26$}\fbox{$27$}}}{\fbox{$28$}},\ \frac{t}{2}-\frac{\fbox{$29$}}{\fbox{$30$}} \right) \] と表すことができる.また,$\mathrm{M}$の軌跡は双曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{\fbox{$31$}}{\fbox{$32$}}$を
$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{\sqrt{\fbox{$33$}\fbox{$34$}}}{\fbox{$35$}}$,$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{\fbox{$36$}}{\fbox{$37$}}$だけ平行移動して得られる双曲線である.
$xy$平面上に,双曲線$x^2-y^2=1$がある.この双曲線と直線$y=ax+3$が点$\mathrm{P}$で接している.ただし$a>0$とする.このとき,
(1) $a=\sqrt{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}$
$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( -\frac{\sqrt{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}}{\fbox{$23$}},\ -\frac{\fbox{$24$}}{\fbox{$25$}} \right)$である.
(2) この双曲線上に点$\mathrm{Q}(s,\ t)$がある.線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると,$\mathrm{M}$の座標は \[ \left( \frac{s}{2}-\frac{\sqrt{\fbox{$26$}\fbox{$27$}}}{\fbox{$28$}},\ \frac{t}{2}-\frac{\fbox{$29$}}{\fbox{$30$}} \right) \] と表すことができる.また,$\mathrm{M}$の軌跡は双曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{\fbox{$31$}}{\fbox{$32$}}$を
$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{\sqrt{\fbox{$33$}\fbox{$34$}}}{\fbox{$35$}}$,$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{\fbox{$36$}}{\fbox{$37$}}$だけ平行移動して得られる双曲線である.
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