武庫川女子大学
2014年 生活環境（建築）・薬（薬）以外 第2問
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![次の空欄[19]～[42]にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄[19]，[21]には+または-の記号が入る．(1)原点Oを中心とする半径5の円と直線y=-2xとの交点のうち，y座標が正となる点をAとする．線分OAがx軸の正の向きとなす角をθ(0°＜θ＜{180}°)とする．(i)tanθ=[19][20]であり，cosθ=[21]\frac{\sqrt{[22]}}{[23]}であり，点Aの座標は(-\sqrt{[24]},[25]\sqrt{[26]})である．(i)点(3√5,0)をBとするとき，AB=[27][28]であり，三角形OABの外接円の半径は\frac{[29]\sqrt{[30]}}{[31]}である．(2)下図のように半径rの扇形ABCがあり，∠CAB={90}°とする．直線CAの延長線上に点Dをとり，sin∠ADB=1/5とする．この扇形ABCと三角形ADBの両方からなる図形を直線CDを軸として回転させてできる立体の表面積をS，体積をVとする．(i)r=3/2のときのSは，r=1のときの\frac{[32]}{[33]}倍であり，Vはr=1のときの\frac{[34][35]}{[36][37]}倍である．(ii)r=1のとき，S=[38]πであり，V=\frac{[39]}{[40]}([41]+\sqrt{[42]})πである．（プレビューでは図は省略します）](./thumb/593/3185/2014_2.png)
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次の空欄$\fbox{$19$}$～$\fbox{$42$}$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$\fbox{$19$}$，$\fbox{$21$}$には$+$または$-$の記号が入る．
(1) 原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta \ \ (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(ⅰ) $\tan \theta=\fbox{$19$}\fbox{$20$}$であり，
$\cos \theta=\fbox{$21$} \frac{\sqrt{\fbox{$22$}}}{\fbox{$23$}}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{\fbox{$24$}},\ \fbox{$25$} \sqrt{\fbox{$26$}} \right)$である．
(ⅰ) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\fbox{$27$}\fbox{$28$}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{$29$} \sqrt{\fbox{$30$}}}{\fbox{$31$}}$である．
(2) 下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$32$}}{\fbox{$33$}}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}\fbox{$37$}}$倍である．
(ⅱ) $r=1$のとき，$S=\fbox{$38$} \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}} \left( \fbox{$41$}+\sqrt{\fbox{$42$}} \right) \pi$である． \imgc{593_3185_2014_1}
(1) 原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta \ \ (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(ⅰ) $\tan \theta=\fbox{$19$}\fbox{$20$}$であり，
$\cos \theta=\fbox{$21$} \frac{\sqrt{\fbox{$22$}}}{\fbox{$23$}}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{\fbox{$24$}},\ \fbox{$25$} \sqrt{\fbox{$26$}} \right)$である．
(ⅰ) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\fbox{$27$}\fbox{$28$}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{$29$} \sqrt{\fbox{$30$}}}{\fbox{$31$}}$である．
(2) 下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$32$}}{\fbox{$33$}}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}\fbox{$37$}}$倍である．
(ⅱ) $r=1$のとき，$S=\fbox{$38$} \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}} \left( \fbox{$41$}+\sqrt{\fbox{$42$}} \right) \pi$である． \imgc{593_3185_2014_1}
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