津田塾大学
2016年 学芸(数学) 第4問
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\begin{mawarikomi}{68mm}{
\imgc{237_2238_2016_1}
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1) $\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2) $\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3) $\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1) $\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2) $\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3) $\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
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