東京理科大学
2015年 理工(情報科・工業化・機械工・土木工) 第3問
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![正の定数a(a≠1)に対して,2次関数f(x)をf(x)=ax(1-x)と定める.曲線C:y=f(x)の点(1,0)における接線をℓ_1,直線y=-xをℓ_2とする.曲線Cのx≦1の部分と2直線ℓ_1,ℓ_2で囲まれる部分の面積をSで表し,また,この部分をx軸の周りに1回転してできる図形の体積をVで表す.(1)直線ℓ_1,ℓ_2の交点の座標をaを用いて表せ.(2)Sをaを用いて表せ.(3)定数aはa>1を満たすものとする.2直線ℓ_1,ℓ_2とx軸で囲まれる部分をx軸の周りに1回転してできる図形の体積をUで表すとき,\frac{30a^3}{(a-1)^4π}(V-U)をaの1次式で表せ.(4)\lim_{a→1+0}(a-1)^2Vの値を求めよ.](./thumb/269/265/2015_3.png)
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正の定数$a \ \ (a \neq 1)$に対して,$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める.曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$,直線$y=-x$を$\ell_2$とする.曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し,また,この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す.
(1) 直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ.
(2) $S$を$a$を用いて表せ.
(3) 定数$a$は$a>1$を満たすものとする.$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき, \[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \] を$a$の$1$次式で表せ.
(4) $\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ.
(1) 直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ.
(2) $S$を$a$を用いて表せ.
(3) 定数$a$は$a>1$を満たすものとする.$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき, \[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \] を$a$の$1$次式で表せ.
(4) $\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ.
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