鹿児島大学
2013年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第5問
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$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して,$\Delta (A)=ad-bc$とおく.たとえば単位行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (E)=1 \times 1-0 \times 0=1$となる.また$K=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 7
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (K)=2 \times 7-3 \times 5=-1$となる.次の各問いに答えよ.
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく.$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し,$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ.
(2) すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して,$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ.
(3) $X^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ.
(4) $2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする.$A$と$B$の成分がすべて整数ならば,$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである.このことを示せ.
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく.$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し,$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ.
(2) すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して,$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ.
(3) $X^2=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ.
(4) $2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする.$A$と$B$の成分がすべて整数ならば,$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである.このことを示せ.
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