公立はこだて未来大学
2013年 理系 第7問
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行列$C=\left( \begin{array}{cc}
0 & \displaystyle\frac{1}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)$について,以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が,$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする.線分$\mathrm{OA}$の長さを$|\mathrm{OA|}$,線分$\mathrm{OB}$の長さを$|\mathrm{OB|}$とするとき,$\displaystyle \frac{|\mathrm{OB|}}{|\mathrm{OA|}}$を求めよ.また,$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ.
(2) $C,\ C^2,\ \cdots,\ C^n$の表す$n$個($n \geqq 2$)の$1$次変換によって,座標平面上の点$\mathrm{P}_0$がそれぞれ点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$に移されるとする.点$\mathrm{P}_0$の座標が$(1,\ 1)$であるとき,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$の長さの総和を$L_n$とする.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ.
(1) 座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が,$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする.線分$\mathrm{OA}$の長さを$|\mathrm{OA|}$,線分$\mathrm{OB}$の長さを$|\mathrm{OB|}$とするとき,$\displaystyle \frac{|\mathrm{OB|}}{|\mathrm{OA|}}$を求めよ.また,$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ.
(2) $C,\ C^2,\ \cdots,\ C^n$の表す$n$個($n \geqq 2$)の$1$次変換によって,座標平面上の点$\mathrm{P}_0$がそれぞれ点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$に移されるとする.点$\mathrm{P}_0$の座標が$(1,\ 1)$であるとき,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$の長さの総和を$L_n$とする.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ.
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