旭川医科大学
2010年 医学部 第3問
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関数$\displaystyle f(x)=\sin x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の逆関数を$g(x) \ (-1 \leqq t \leqq 1)$とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) $-1<x<1$のとき,$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ.
(2) 曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を,それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき,$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき,$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ.
(1) $-1<x<1$のとき,$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ.
(2) 曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を,それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき,$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき,$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ.
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