旭川医科大学
2011年 医学部 第4問
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$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x}-\tan x \left( 0 \leqq x <\frac{\pi}{2} \right)$とする.次の問いに答えよ.
(1) $g(x)$を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で連続で,$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$では$g(x)=f(x)$を満たす関数とする.
[(a)] $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ. [(b)] $g(x)$の増加,減少を調べよ. [(c)] $\displaystyle \int_0^x g(t) \, dt$を求めよ.
(2) $n$を自然数とし,$c_n$を$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-c_n}^{\frac{\pi}{2}}g(t) \, dt=\frac{1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \, dt$を満たす0と$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の間の数とする.次の極限を求めよ.
[(a)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(1-\cos c_n)$ [(b)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}c_n$
(1) $g(x)$を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で連続で,$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$では$g(x)=f(x)$を満たす関数とする.
[(a)] $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ. [(b)] $g(x)$の増加,減少を調べよ. [(c)] $\displaystyle \int_0^x g(t) \, dt$を求めよ.
(2) $n$を自然数とし,$c_n$を$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-c_n}^{\frac{\pi}{2}}g(t) \, dt=\frac{1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \, dt$を満たす0と$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の間の数とする.次の極限を求めよ.
[(a)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(1-\cos c_n)$ [(b)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}c_n$
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