宮崎大学
2012年 医学部 第5問
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次の各問に答えよ．
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(1) 上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式 \[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \] が成り立つことを示せ．
(2) 上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$に答えよ．
(ⅰ) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ⅱ) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(ⅲ) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．
(1) 上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式 \[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \] が成り立つことを示せ．
(2) 上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$に答えよ．
(ⅰ) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ⅱ) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(ⅲ) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．
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