宮崎大学
2010年 医学部 第4問
4
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定積分
\[ I_n=\int_1^{\sqrt{e}} (\log x)^n \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．
(1) $I_1$の値を求めよ．
(2) 等式 \[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
(3) すべての自然数$n$について，等式 \[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \] が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$0!=1$とする．
(1) $I_1$の値を求めよ．
(2) 等式 \[ I_{n+1}=\sqrt{e} \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}-(n+1)I_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
(3) すべての自然数$n$について，等式 \[ I_n=(-1)^{n-1}n!+\sqrt{e}\sum_{m=0}^n (-1)^{n-m}\frac{n!}{m!}\left( \frac{1}{2} \right)^m \] が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$0!=1$とする．
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