広島大学
2015年 文系 第2問
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$n$を自然数とし,$p_n,\ q_n$を実数とする.ただし,$p_1,\ q_1$は$p_1^2-4q_1=4$を満たすとする.$2$次方程式$x^2-p_nx+q_n=0$は異なる実数解$\alpha_n,\ \beta_n$をもつとする.ただし,$\alpha_n<\beta_n$とする.$c_n=\beta_n-\alpha_n$とおくとき,数列$\{c_n\}$は
\[ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1) $r_n=\log_2 (n \sqrt{n}+\sqrt{n})$とするとき,$\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}$を$r_n,\ r_{n+1}$を用いて表せ.
(2) $c_n$を$n$の式で表せ.
(3) $p_n=n \sqrt{n}$であるとき,$q_n$を$n$の式で表せ.
(1) $r_n=\log_2 (n \sqrt{n}+\sqrt{n})$とするとき,$\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}$を$r_n,\ r_{n+1}$を用いて表せ.
(2) $c_n$を$n$の式で表せ.
(3) $p_n=n \sqrt{n}$であるとき,$q_n$を$n$の式で表せ.
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