福島県立医科大学
2013年 医学部 第1問
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以下の各問いに答えよ.
(1) 座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって,点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ.
(2) 座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって,$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ.
(ⅱ) 曲線$C$で囲まれた図形のうち,$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ.
(3) 座標平面上において,曲線$C_1:y=x \log x \ \ (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し,$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする.
(ⅰ) $a$の値を求めよ.
(ⅱ) $C_1$,$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし,$C_1$,$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする.$S_1,\ S_2$の値を求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$,$B$で表し,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す.$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \ \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について,$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ.
(5) $n$は自然数とする.導関数の定義にしたがって,関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ. $n$は$2$以上の自然数とする.$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は,小数第$(n-1)$位が$2$,小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ.
(1) 座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって,点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ.
(2) 座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって,$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ.
(ⅱ) 曲線$C$で囲まれた図形のうち,$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ.
(3) 座標平面上において,曲線$C_1:y=x \log x \ \ (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し,$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする.
(ⅰ) $a$の値を求めよ.
(ⅱ) $C_1$,$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし,$C_1$,$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする.$S_1,\ S_2$の値を求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$,$B$で表し,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す.$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \ \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について,$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ.
(5) $n$は自然数とする.導関数の定義にしたがって,関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ. $n$は$2$以上の自然数とする.$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は,小数第$(n-1)$位が$2$,小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ.
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