宮崎大学
2016年 医学部 第5問
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$k>0$,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.座標平面上の原点$\mathrm{O}$,点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し,第一象限の点$\mathrm{P}$を,$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり,直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする.$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし,関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき,$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ.
(3) 関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.
(4) 曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$,$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を,$k$を用いて表せ.
(1) $r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき,$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ.
(3) 関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ,曲線$C$の概形をかけ.
(4) 曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$,$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を,$k$を用いて表せ.
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