茨城大学
2016年 工学部 第4問
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$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{\sqrt{3}+i}$のとき,以下の各問に答えよ.ただし,$i$は虚数単位である.
(1) $\alpha$の絶対値を$r$,偏角を$\theta$とする.$r$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ.ただし,偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(2) $\alpha^{20}$を計算せよ.
(3) 複素数平面上で複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{P}(z)$と表す.点$\mathrm{A}(\alpha^{20})$,$\mathrm{B}(\alpha^{36})$,$\mathrm{C}(\beta)$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある.このとき,複素数$\beta$をすべて求めよ.
(1) $\alpha$の絶対値を$r$,偏角を$\theta$とする.$r$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ.ただし,偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(2) $\alpha^{20}$を計算せよ.
(3) 複素数平面上で複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{P}(z)$と表す.点$\mathrm{A}(\alpha^{20})$,$\mathrm{B}(\alpha^{36})$,$\mathrm{C}(\beta)$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある.このとき,複素数$\beta$をすべて求めよ.
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