辺の長さが$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が，$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$，$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．