宮城教育大学
2013年 教育学部（中等数学） 第1問
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以下の問いに答えよ．
(1) $a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は， \[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \] であることを示せ．
(2) $a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする． \[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \] とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(3) $a>0,\ b>0,\ ab>1$とする．$x$の$2$次方程式 \[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \] は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．
(1) $a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は， \[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \] であることを示せ．
(2) $a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする． \[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \] とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(3) $a>0,\ b>0,\ ab>1$とする．$x$の$2$次方程式 \[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \] は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．
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