宮城教育大学
2011年 教育学部（中等数学） 第2問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次の関係式により定義する．
\begin{align}
& a_1=3,\ b_1=1, \nonumber \\
& a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_n+13b_n}{2},\quad b_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n+3b_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 数学的帰納法を用いて，$a_n+b_n,\ a_n-b_n$はともに正の偶数であることを証明せよ．
(2) $c_n=a_n+\sqrt{13} \, b_n,\ d_n=a_n-\sqrt{13} \, b_n$とおく．数列$\{c_n\},\ \{d_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．
(1) 数学的帰納法を用いて，$a_n+b_n,\ a_n-b_n$はともに正の偶数であることを証明せよ．
(2) $c_n=a_n+\sqrt{13} \, b_n,\ d_n=a_n-\sqrt{13} \, b_n$とおく．数列$\{c_n\},\ \{d_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．
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