宮城教育大学
2010年 教育学部（中等数学） 第5問
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関数$\displaystyle f(x)=\int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt$を考える．ただし，$\alpha$は定数とする．次の問いに答えよ．
(1) $x$を定数とみて，$u=x-t$とおく．置換積分法を用いて， \[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \] となることを示せ．
(2) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3) 関数$f(x)$を求めよ．
(4) 曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1) $x$を定数とみて，$u=x-t$とおく．置換積分法を用いて， \[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \] となることを示せ．
(2) 導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3) 関数$f(x)$を求めよ．
(4) 曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
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