東京理科大学
2012年 理(数・物・化) 第3問
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$\{\theta_k\}$を初項$0$,交差$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の等差数列,$\{r_k\}$を初項$1$,公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし,自然数$k$に対して,行列$A_k$,$B_k$を
\[ A_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & r_k \sin \theta_k \\
r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right),\quad B_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & -r_k \sin \theta_k \\
-r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right) \]
とおく.$C_k=A_kA_{k+1}$,$D_k=B_k B_{k+1}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $C_k$を$k$を用いて表せ.
(2) $D_k$を$k$を用いて表せ.
(3) $m$を自然数とするとき,次の行列の和 \[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \] を求めよ.
(4) $C_k^2D_k^2$を求めよ.
(5) 次の行列の和 \[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \] を$\left( \begin{array}{cc} x_n & y_n \\ z_n & w_n \end{array} \right)$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ.
ただし,必要ならば,実数$a \ \ (a>1)$に対して,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい.
(1) $C_k$を$k$を用いて表せ.
(2) $D_k$を$k$を用いて表せ.
(3) $m$を自然数とするとき,次の行列の和 \[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \] を求めよ.
(4) $C_k^2D_k^2$を求めよ.
(5) 次の行列の和 \[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \] を$\left( \begin{array}{cc} x_n & y_n \\ z_n & w_n \end{array} \right)$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ.
ただし,必要ならば,実数$a \ \ (a>1)$に対して,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい.
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