佐賀大学
2011年 農学部 第2問
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多項式$f(x)=x^4-x^3+cx^2-11x+d$について,$f(1+\sqrt{2})=0$が成り立つとする.ここで,$c,\ d$は有理数とする.次の問いに答えよ.
(1) $S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする.集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし,$a,\ b$は有理数)に対して,$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する.$S$の任意の元$z,\ w$に対して,$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ.
(2) (1)を用いて,$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば,$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ.このことを用いて,$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ.
(3) 有理数$c,\ d$を求め,$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ.
(1) $S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする.集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし,$a,\ b$は有理数)に対して,$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する.$S$の任意の元$z,\ w$に対して,$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ.
(2) (1)を用いて,$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば,$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ.このことを用いて,$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ.
(3) 有理数$c,\ d$を求め,$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ.
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