上智大学
2015年 法(法),総合(社会),外国語(フランス、イスパニア、ロシア) 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) 数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば, \[ a_n=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \right)^n+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である.
(2) $t$を実数とする.座標空間において,点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする.点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき, \[ \mathrm{PH}^2=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}t^2+\fbox{ケ}t+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] である.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする.$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき,その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$のとき最大値をとる.
(1) 数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば, \[ a_n=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \right)^n+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である.
(2) $t$を実数とする.座標空間において,点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする.点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき, \[ \mathrm{PH}^2=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}t^2+\fbox{ケ}t+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] である.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする.$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき,その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$のとき最大値をとる.
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