次の空欄$\fbox{ナ}$から$\fbox{ヘ}$にあてはまる数や式を書きなさい．
ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである． \begin{center} 確率分布表 \quad \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline 確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline \end{tabular} \end{center}
また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$\tokeiichi$，$\tokeini$が残った．
データ$\tokeiichi \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$\tokeini \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=\fbox{ナ} \ \ \cdots\cdots \maruichi$である．
次に，データ$\tokeiichi$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから， \[ \fbox{ニ}=\frac{4}{27} \] となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる． \[ \fbox{ヌ}=0 \] 条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=\fbox{ネ}$である．すると$\maruichi$から， \[ q+r=\fbox{ノ} \ \ \cdots\cdots\maruni \] となる．
データ$\tokeini$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば， \[ \fbox{ハ}=\frac{1153}{315} \] である．
ゆえに，$p=\fbox{ネ}$を適用して， \[ 2q+3r=\fbox{ヒ} \ \ \cdots\cdots\marusan \] となる．$\maruni$と$\marusan$を連立して，$q=\fbox{フ}$，$r=\fbox{ヘ}$を得る．