慶應義塾大学
2012年 薬学部 第4問
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以下の問の$\fbox{$64$}$~$\fbox{$73$}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号($-$)をマークしなさい.
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と,$2$つの直線$\ell_1$,$\ell_2$がある.ただし,$a>1$とする.
円$C$ \quad\!\! :$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$:$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$:$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$
円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わり,それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$,$x_\mathrm{B}$とおくと,$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である.また,直線$\ell_2$上に,$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる.三角形$\mathrm{APB}$において,$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると,$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり,四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である.
(1) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{$64$} \sqrt{\fbox{$65$}}}{\fbox{$66$}}$である.
(2) $\angle \mathrm{OBP}=\frac{\fbox{$67$}}{\fbox{$68$}} \pi+\frac{\fbox{$69$}}{\fbox{$70$}} \theta$である.
(3) 三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{$71$} \sqrt{\fbox{$72$}}}{\fbox{$73$}}$である.
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と,$2$つの直線$\ell_1$,$\ell_2$がある.ただし,$a>1$とする.
円$C$ \quad\!\! :$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$:$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$:$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$
円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わり,それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$,$x_\mathrm{B}$とおくと,$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である.また,直線$\ell_2$上に,$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる.三角形$\mathrm{APB}$において,$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると,$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり,四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である.
(1) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{$64$} \sqrt{\fbox{$65$}}}{\fbox{$66$}}$である.
(2) $\angle \mathrm{OBP}=\frac{\fbox{$67$}}{\fbox{$68$}} \pi+\frac{\fbox{$69$}}{\fbox{$70$}} \theta$である.
(3) 三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{$71$} \sqrt{\fbox{$72$}}}{\fbox{$73$}}$である.
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