広島大学
2014年 理系 第4問
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![α>1とする.数列{a_n}をa_1=α,a_{n+1}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}}(n=1,2,3,・・・)によって定める.次の不等式が成り立つことを証明せよ.(1)a_n>1(n=1,2,3,・・・)(2)√x-1≦1/2(x-1)( ただし, x≧0 とする. )(3)a_n-1≦(1/4)^{n-1}(α-1)(n=1,2,3,・・・)](./thumb/629/1921/2014_4.png)
4
$\alpha>1$とする.数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\alpha,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.次の不等式が成り立つことを証明せよ.
(1) $a_n>1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2) $\displaystyle \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \quad (\text{ただし,} \ \ x \geqq 0 \text{とする.})$
(3) $\displaystyle a_n-1 \leqq \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}(\alpha-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $a_n>1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2) $\displaystyle \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \quad (\text{ただし,} \ \ x \geqq 0 \text{とする.})$
(3) $\displaystyle a_n-1 \leqq \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}(\alpha-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
類題(関連度順)
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