学習院大学
2010年 文学部 第4問
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$a$を正の実数とする.$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ a)$があり,点$\mathrm{Q}$は放物線$C:y=x^2$上を動く.
(1) $\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ.また,その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2) $a=5$の時,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある.これらの点を$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$とする.$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とし,その交点を$\mathrm{R}$とする.$\ell_1$,$\ell_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(1) $\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ.また,その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2) $a=5$の時,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある.これらの点を$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$とする.$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$,$\ell_2$とし,その交点を$\mathrm{R}$とする.$\ell_1$,$\ell_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
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