山口大学
2013年 理(数理科学)・医 第4問
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実数$x$に対し,$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す.数列$\{a_n\}$が
\[ a_n=[\sqrt{n}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき,次の問いに答えなさい.
(1) $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めなさい.
(2) $n$を自然数とする. \[ S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\cdots +a_n \] とするとき,次の等式を証明しなさい. \[ S_n=\left( n+\frac{5}{6} \right)a_n-\frac{1}{2} {a_n}^2-\frac{1}{3}{a_n}^3 \]
(1) $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めなさい.
(2) $n$を自然数とする. \[ S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\cdots +a_n \] とするとき,次の等式を証明しなさい. \[ S_n=\left( n+\frac{5}{6} \right)a_n-\frac{1}{2} {a_n}^2-\frac{1}{3}{a_n}^3 \]
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