大阪教育大学
2014年 理系 第3問
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曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+3}$を$C$とし,座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする.以下の問に答えよ.
(1) 曲線$C$の凹凸,変曲点,漸近線を調べ,その概形をかけ.
(2) 曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ.また,その接点を求めよ.
(3) $\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする.点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき,原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき,その座標を求めよ.
(4) $\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする.点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき,原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき,その座標を求めよ.
(1) 曲線$C$の凹凸,変曲点,漸近線を調べ,その概形をかけ.
(2) 曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ.また,その接点を求めよ.
(3) $\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする.点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき,原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき,その座標を求めよ.
(4) $\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする.点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき,原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき,その座標を求めよ.
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