九州大学
2012年 理系 第4問
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$p$と$q$はともに整数であるとする.2次方程式$x^2 + px+q = 0$が実数解$\alpha,\ \beta$を持ち,条件$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \neq 0$をみたしているとする.このとき,数列$\{a_n\}$を
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する.以下の問いに答えよ.
(1) $a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ.
(2) $(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき,$p$と$q$の値をすべて求めよ.ただし,$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい.
(1) $a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ.
(2) $(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき,$p$と$q$の値をすべて求めよ.ただし,$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい.
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